3.49 \(\int \frac {\cot (d+e x)}{(a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=280 \[ -\frac {\tanh ^{-1}\left (\frac {2 a+b \tan ^2(d+e x)}{2 \sqrt {a} \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}\right )}{2 a^{3/2} e}+\frac {-2 a c+b^2+b c \tan ^2(d+e x)}{a e \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}-\frac {-2 a c+b^2+c (b-2 c) \tan ^2(d+e x)-b c}{e (a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}+\frac {\tanh ^{-1}\left (\frac {2 a+(b-2 c) \tan ^2(d+e x)-b}{2 \sqrt {a-b+c} \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}\right )}{2 e (a-b+c)^{3/2}} \]

[Out]

-1/2*arctanh(1/2*(2*a+b*tan(e*x+d)^2)/a^(1/2)/(a+b*tan(e*x+d)^2+c*tan(e*x+d)^4)^(1/2))/a^(3/2)/e+1/2*arctanh(1
/2*(2*a-b+(b-2*c)*tan(e*x+d)^2)/(a-b+c)^(1/2)/(a+b*tan(e*x+d)^2+c*tan(e*x+d)^4)^(1/2))/(a-b+c)^(3/2)/e+(b^2-2*
a*c+b*c*tan(e*x+d)^2)/a/(-4*a*c+b^2)/e/(a+b*tan(e*x+d)^2+c*tan(e*x+d)^4)^(1/2)+(-b^2+2*a*c+b*c-(b-2*c)*c*tan(e
*x+d)^2)/(a-b+c)/(-4*a*c+b^2)/e/(a+b*tan(e*x+d)^2+c*tan(e*x+d)^4)^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.39, antiderivative size = 280, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 12, number of rules used = 7, integrand size = 33, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.212, Rules used = {3700, 1251, 960, 740, 12, 724, 206} \[ -\frac {\tanh ^{-1}\left (\frac {2 a+b \tan ^2(d+e x)}{2 \sqrt {a} \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}\right )}{2 a^{3/2} e}+\frac {-2 a c+b^2+b c \tan ^2(d+e x)}{a e \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}-\frac {-2 a c+b^2+c (b-2 c) \tan ^2(d+e x)-b c}{e (a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}+\frac {\tanh ^{-1}\left (\frac {2 a+(b-2 c) \tan ^2(d+e x)-b}{2 \sqrt {a-b+c} \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}\right )}{2 e (a-b+c)^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cot[d + e*x]/(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)^(3/2),x]

[Out]

-ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]/(2*a^(3/2)*e) + A
rcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])]
/(2*(a - b + c)^(3/2)*e) + (b^2 - 2*a*c + b*c*Tan[d + e*x]^2)/(a*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c
*Tan[d + e*x]^4]) - (b^2 - 2*a*c - b*c + (b - 2*c)*c*Tan[d + e*x]^2)/((a - b + c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*T
an[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 724

Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/(4*c*d
^2 - 4*b*d*e + 4*a*e^2 - x^2), x], x, (2*a*e - b*d - (2*c*d - b*e)*x)/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0]

Rule 740

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[((d + e*x)^(m + 1)*(
b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e
+ a*e^2)), x] + Dist[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), Int[(d + e*x)^m*Simp[b*c*d*e*(2*p - m
+ 2) + b^2*e^2*(m + p + 2) - 2*c^2*d^2*(2*p + 3) - 2*a*c*e^2*(m + 2*p + 3) - c*e*(2*c*d - b*e)*(m + 2*p + 4)*x
, x]*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b
*d*e + a*e^2, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0] && LtQ[p, -1] && IntQuadraticQ[a, b, c, d, e, m, p, x]

Rule 960

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :
> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &
& NeQ[e*f - d*g, 0] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && (IntegerQ[p] || (ILtQ[m, 0] &&
ILtQ[n, 0])) &&  !(IGtQ[m, 0] || IGtQ[n, 0])

Rule 1251

Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/2,
Subst[Int[x^((m - 1)/2)*(d + e*x)^q*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] &&
IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 3700

Int[tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*((f_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.) + (c_.)*((f_.)*tan[(d_.
) + (e_.)*(x_)])^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Dist[f/e, Subst[Int[((x/f)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p)/(f^2 + x^2
), x], x, f*Tan[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\cot (d+e x)}{\left (a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)\right )^{3/2}} \, dx &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{x \left (1+x^2\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan (d+e x)\right )}{e}\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{x (1+x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan ^2(d+e x)\right )}{2 e}\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \left (\frac {1}{(-1-x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac {1}{x \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}\right ) \, dx,x,\tan ^2(d+e x)\right )}{2 e}\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{(-1-x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan ^2(d+e x)\right )}{2 e}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{x \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan ^2(d+e x)\right )}{2 e}\\ &=\frac {b^2-2 a c+b c \tan ^2(d+e x)}{a \left (b^2-4 a c\right ) e \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}-\frac {b^2-2 a c-b c+(b-2 c) c \tan ^2(d+e x)}{(a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) e \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {-\frac {b^2}{2}+2 a c}{x \sqrt {a+b x+c x^2}} \, dx,x,\tan ^2(d+e x)\right )}{a \left (b^2-4 a c\right ) e}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {-\frac {b^2}{2}+2 a c}{(-1-x) \sqrt {a+b x+c x^2}} \, dx,x,\tan ^2(d+e x)\right )}{(a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) e}\\ &=\frac {b^2-2 a c+b c \tan ^2(d+e x)}{a \left (b^2-4 a c\right ) e \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}-\frac {b^2-2 a c-b c+(b-2 c) c \tan ^2(d+e x)}{(a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) e \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{x \sqrt {a+b x+c x^2}} \, dx,x,\tan ^2(d+e x)\right )}{2 a e}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{(-1-x) \sqrt {a+b x+c x^2}} \, dx,x,\tan ^2(d+e x)\right )}{2 (a-b+c) e}\\ &=\frac {b^2-2 a c+b c \tan ^2(d+e x)}{a \left (b^2-4 a c\right ) e \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}-\frac {b^2-2 a c-b c+(b-2 c) c \tan ^2(d+e x)}{(a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) e \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{4 a-x^2} \, dx,x,\frac {2 a+b \tan ^2(d+e x)}{\sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}\right )}{a e}-\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{4 a-4 b+4 c-x^2} \, dx,x,\frac {-2 a+b-(b-2 c) \tan ^2(d+e x)}{\sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}\right )}{(a-b+c) e}\\ &=-\frac {\tanh ^{-1}\left (\frac {2 a+b \tan ^2(d+e x)}{2 \sqrt {a} \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}\right )}{2 a^{3/2} e}+\frac {\tanh ^{-1}\left (\frac {2 a-b+(b-2 c) \tan ^2(d+e x)}{2 \sqrt {a-b+c} \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}\right )}{2 (a-b+c)^{3/2} e}+\frac {b^2-2 a c+b c \tan ^2(d+e x)}{a \left (b^2-4 a c\right ) e \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}-\frac {b^2-2 a c-b c+(b-2 c) c \tan ^2(d+e x)}{(a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) e \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 3.45, size = 278, normalized size = 0.99 \[ \frac {\frac {\left (2 a c-\frac {b^2}{2}\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {2 a+b \tan ^2(d+e x)}{2 \sqrt {a} \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}\right )}{a^{3/2}}+\frac {-2 a c+b^2+b c \tan ^2(d+e x)}{a \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}-\frac {-2 a c+b^2+c (b-2 c) \tan ^2(d+e x)-b c}{(a-b+c) \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}-\frac {\left (b^2-4 a c\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {-2 a-\left ((b-2 c) \tan ^2(d+e x)\right )+b}{2 \sqrt {a-b+c} \sqrt {a+b \tan ^2(d+e x)+c \tan ^4(d+e x)}}\right )}{2 (a-b+c)^{3/2}}}{e \left (b^2-4 a c\right )} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cot[d + e*x]/(a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4)^(3/2),x]

[Out]

(((-1/2*b^2 + 2*a*c)*ArcTanh[(2*a + b*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]
)])/a^(3/2) - ((b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(-2*a + b - (b - 2*c)*Tan[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Tan[d
+ e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4])])/(2*(a - b + c)^(3/2)) + (b^2 - 2*a*c + b*c*Tan[d + e*x]^2)/(a*Sqrt[a + b*Tan[
d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]) - (b^2 - 2*a*c - b*c + (b - 2*c)*c*Tan[d + e*x]^2)/((a - b + c)*Sqrt[a + b*Tan
[d + e*x]^2 + c*Tan[d + e*x]^4]))/((b^2 - 4*a*c)*e)

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 7.47, size = 3951, normalized size = 14.11 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(e*x+d)/(a+b*tan(e*x+d)^2+c*tan(e*x+d)^4)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/4*((a^3*b^2 - 4*a^4*c + (a^2*b^2*c - 4*a^3*c^2)*tan(e*x + d)^4 + (a^2*b^3 - 4*a^3*b*c)*tan(e*x + d)^2)*sqr
t(a - b + c)*log(((b^2 + 4*(a - 2*b)*c + 8*c^2)*tan(e*x + d)^4 + 2*(4*a*b - 3*b^2 - 4*(a - b)*c)*tan(e*x + d)^
2 + 4*sqrt(c*tan(e*x + d)^4 + b*tan(e*x + d)^2 + a)*((b - 2*c)*tan(e*x + d)^2 + 2*a - b)*sqrt(a - b + c) + 8*a
^2 - 8*a*b + b^2 + 4*a*c)/(tan(e*x + d)^4 + 2*tan(e*x + d)^2 + 1)) + (a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 + a*b^4 - 4*a^2*c^3
- (4*a*c^4 + (8*a^2 - 8*a*b - b^2)*c^3 + 2*(2*a^3 - 4*a^2*b + a*b^2 + b^3)*c^2 - (a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*c)*
tan(e*x + d)^4 - (8*a^3 - 8*a^2*b - a*b^2)*c^2 + (a^2*b^3 - 2*a*b^4 + b^5 - 4*a*b*c^3 - (8*a^2*b - 8*a*b^2 - b
^3)*c^2 - 2*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3 + b^4)*c)*tan(e*x + d)^2 - 2*(2*a^4 - 4*a^3*b + a^2*b^2 + a*b^3)*c)*s
qrt(a)*log(((b^2 + 4*a*c)*tan(e*x + d)^4 + 8*a*b*tan(e*x + d)^2 - 4*sqrt(c*tan(e*x + d)^4 + b*tan(e*x + d)^2 +
a)*(b*tan(e*x + d)^2 + 2*a)*sqrt(a) + 8*a^2)/tan(e*x + d)^4) - 4*(a^2*b^3 - a*b^4 + 2*a^2*c^3 + (2*a^3 - 5*a^
2*b - a*b^2)*c^2 - ((2*a^2 + a*b)*c^3 + (2*a^3 - a^2*b - 2*a*b^2)*c^2 - (a^2*b^2 - a*b^3)*c)*tan(e*x + d)^2 -
(3*a^3*b - 2*a^2*b^2 - 2*a*b^3)*c)*sqrt(c*tan(e*x + d)^4 + b*tan(e*x + d)^2 + a))/((4*a^3*c^4 + (8*a^4 - 8*a^3
*b - a^2*b^2)*c^3 + 2*(2*a^5 - 4*a^4*b + a^3*b^2 + a^2*b^3)*c^2 - (a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 + a^2*b^4)*c)*e*tan(e*x
+ d)^4 - (a^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + a^2*b^5 - 4*a^3*b*c^3 - (8*a^4*b - 8*a^3*b^2 - a^2*b^3)*c^2 - 2*(2*a^5*b - 4*
a^4*b^2 + a^3*b^3 + a^2*b^4)*c)*e*tan(e*x + d)^2 - (a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 + a^3*b^4 - 4*a^4*c^3 - (8*a^5 - 8*a^4
*b - a^3*b^2)*c^2 - 2*(2*a^6 - 4*a^5*b + a^4*b^2 + a^3*b^3)*c)*e), -1/4*(2*(a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 + a*b^4 - 4*a^
2*c^3 - (4*a*c^4 + (8*a^2 - 8*a*b - b^2)*c^3 + 2*(2*a^3 - 4*a^2*b + a*b^2 + b^3)*c^2 - (a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^
4)*c)*tan(e*x + d)^4 - (8*a^3 - 8*a^2*b - a*b^2)*c^2 + (a^2*b^3 - 2*a*b^4 + b^5 - 4*a*b*c^3 - (8*a^2*b - 8*a*b
^2 - b^3)*c^2 - 2*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3 + b^4)*c)*tan(e*x + d)^2 - 2*(2*a^4 - 4*a^3*b + a^2*b^2 + a*b^3
)*c)*sqrt(-a)*arctan(1/2*sqrt(c*tan(e*x + d)^4 + b*tan(e*x + d)^2 + a)*(b*tan(e*x + d)^2 + 2*a)*sqrt(-a)/(a*c*
tan(e*x + d)^4 + a*b*tan(e*x + d)^2 + a^2)) + (a^3*b^2 - 4*a^4*c + (a^2*b^2*c - 4*a^3*c^2)*tan(e*x + d)^4 + (a
^2*b^3 - 4*a^3*b*c)*tan(e*x + d)^2)*sqrt(a - b + c)*log(((b^2 + 4*(a - 2*b)*c + 8*c^2)*tan(e*x + d)^4 + 2*(4*a
*b - 3*b^2 - 4*(a - b)*c)*tan(e*x + d)^2 + 4*sqrt(c*tan(e*x + d)^4 + b*tan(e*x + d)^2 + a)*((b - 2*c)*tan(e*x
+ d)^2 + 2*a - b)*sqrt(a - b + c) + 8*a^2 - 8*a*b + b^2 + 4*a*c)/(tan(e*x + d)^4 + 2*tan(e*x + d)^2 + 1)) - 4*
(a^2*b^3 - a*b^4 + 2*a^2*c^3 + (2*a^3 - 5*a^2*b - a*b^2)*c^2 - ((2*a^2 + a*b)*c^3 + (2*a^3 - a^2*b - 2*a*b^2)*
c^2 - (a^2*b^2 - a*b^3)*c)*tan(e*x + d)^2 - (3*a^3*b - 2*a^2*b^2 - 2*a*b^3)*c)*sqrt(c*tan(e*x + d)^4 + b*tan(e
*x + d)^2 + a))/((4*a^3*c^4 + (8*a^4 - 8*a^3*b - a^2*b^2)*c^3 + 2*(2*a^5 - 4*a^4*b + a^3*b^2 + a^2*b^3)*c^2 -
(a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 + a^2*b^4)*c)*e*tan(e*x + d)^4 - (a^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + a^2*b^5 - 4*a^3*b*c^3 - (8*a^4*b
- 8*a^3*b^2 - a^2*b^3)*c^2 - 2*(2*a^5*b - 4*a^4*b^2 + a^3*b^3 + a^2*b^4)*c)*e*tan(e*x + d)^2 - (a^5*b^2 - 2*a^
4*b^3 + a^3*b^4 - 4*a^4*c^3 - (8*a^5 - 8*a^4*b - a^3*b^2)*c^2 - 2*(2*a^6 - 4*a^5*b + a^4*b^2 + a^3*b^3)*c)*e),
-1/4*(2*(a^3*b^2 - 4*a^4*c + (a^2*b^2*c - 4*a^3*c^2)*tan(e*x + d)^4 + (a^2*b^3 - 4*a^3*b*c)*tan(e*x + d)^2)*s
qrt(-a + b - c)*arctan(-1/2*sqrt(c*tan(e*x + d)^4 + b*tan(e*x + d)^2 + a)*((b - 2*c)*tan(e*x + d)^2 + 2*a - b)
*sqrt(-a + b - c)/(((a - b)*c + c^2)*tan(e*x + d)^4 + (a*b - b^2 + b*c)*tan(e*x + d)^2 + a^2 - a*b + a*c)) + (
a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 + a*b^4 - 4*a^2*c^3 - (4*a*c^4 + (8*a^2 - 8*a*b - b^2)*c^3 + 2*(2*a^3 - 4*a^2*b + a*b^2 +
b^3)*c^2 - (a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*c)*tan(e*x + d)^4 - (8*a^3 - 8*a^2*b - a*b^2)*c^2 + (a^2*b^3 - 2*a*b^4 +
b^5 - 4*a*b*c^3 - (8*a^2*b - 8*a*b^2 - b^3)*c^2 - 2*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3 + b^4)*c)*tan(e*x + d)^2 - 2*
(2*a^4 - 4*a^3*b + a^2*b^2 + a*b^3)*c)*sqrt(a)*log(((b^2 + 4*a*c)*tan(e*x + d)^4 + 8*a*b*tan(e*x + d)^2 - 4*sq
rt(c*tan(e*x + d)^4 + b*tan(e*x + d)^2 + a)*(b*tan(e*x + d)^2 + 2*a)*sqrt(a) + 8*a^2)/tan(e*x + d)^4) - 4*(a^2
*b^3 - a*b^4 + 2*a^2*c^3 + (2*a^3 - 5*a^2*b - a*b^2)*c^2 - ((2*a^2 + a*b)*c^3 + (2*a^3 - a^2*b - 2*a*b^2)*c^2
- (a^2*b^2 - a*b^3)*c)*tan(e*x + d)^2 - (3*a^3*b - 2*a^2*b^2 - 2*a*b^3)*c)*sqrt(c*tan(e*x + d)^4 + b*tan(e*x +
d)^2 + a))/((4*a^3*c^4 + (8*a^4 - 8*a^3*b - a^2*b^2)*c^3 + 2*(2*a^5 - 4*a^4*b + a^3*b^2 + a^2*b^3)*c^2 - (a^4
*b^2 - 2*a^3*b^3 + a^2*b^4)*c)*e*tan(e*x + d)^4 - (a^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + a^2*b^5 - 4*a^3*b*c^3 - (8*a^4*b - 8*
a^3*b^2 - a^2*b^3)*c^2 - 2*(2*a^5*b - 4*a^4*b^2 + a^3*b^3 + a^2*b^4)*c)*e*tan(e*x + d)^2 - (a^5*b^2 - 2*a^4*b^
3 + a^3*b^4 - 4*a^4*c^3 - (8*a^5 - 8*a^4*b - a^3*b^2)*c^2 - 2*(2*a^6 - 4*a^5*b + a^4*b^2 + a^3*b^3)*c)*e), -1/
2*((a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 + a*b^4 - 4*a^2*c^3 - (4*a*c^4 + (8*a^2 - 8*a*b - b^2)*c^3 + 2*(2*a^3 - 4*a^2*b + a*b^
2 + b^3)*c^2 - (a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*c)*tan(e*x + d)^4 - (8*a^3 - 8*a^2*b - a*b^2)*c^2 + (a^2*b^3 - 2*a*b^
4 + b^5 - 4*a*b*c^3 - (8*a^2*b - 8*a*b^2 - b^3)*c^2 - 2*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3 + b^4)*c)*tan(e*x + d)^2
- 2*(2*a^4 - 4*a^3*b + a^2*b^2 + a*b^3)*c)*sqrt(-a)*arctan(1/2*sqrt(c*tan(e*x + d)^4 + b*tan(e*x + d)^2 + a)*(
b*tan(e*x + d)^2 + 2*a)*sqrt(-a)/(a*c*tan(e*x + d)^4 + a*b*tan(e*x + d)^2 + a^2)) + (a^3*b^2 - 4*a^4*c + (a^2*
b^2*c - 4*a^3*c^2)*tan(e*x + d)^4 + (a^2*b^3 - 4*a^3*b*c)*tan(e*x + d)^2)*sqrt(-a + b - c)*arctan(-1/2*sqrt(c*
tan(e*x + d)^4 + b*tan(e*x + d)^2 + a)*((b - 2*c)*tan(e*x + d)^2 + 2*a - b)*sqrt(-a + b - c)/(((a - b)*c + c^2
)*tan(e*x + d)^4 + (a*b - b^2 + b*c)*tan(e*x + d)^2 + a^2 - a*b + a*c)) - 2*(a^2*b^3 - a*b^4 + 2*a^2*c^3 + (2*
a^3 - 5*a^2*b - a*b^2)*c^2 - ((2*a^2 + a*b)*c^3 + (2*a^3 - a^2*b - 2*a*b^2)*c^2 - (a^2*b^2 - a*b^3)*c)*tan(e*x
+ d)^2 - (3*a^3*b - 2*a^2*b^2 - 2*a*b^3)*c)*sqrt(c*tan(e*x + d)^4 + b*tan(e*x + d)^2 + a))/((4*a^3*c^4 + (8*a
^4 - 8*a^3*b - a^2*b^2)*c^3 + 2*(2*a^5 - 4*a^4*b + a^3*b^2 + a^2*b^3)*c^2 - (a^4*b^2 - 2*a^3*b^3 + a^2*b^4)*c)
*e*tan(e*x + d)^4 - (a^4*b^3 - 2*a^3*b^4 + a^2*b^5 - 4*a^3*b*c^3 - (8*a^4*b - 8*a^3*b^2 - a^2*b^3)*c^2 - 2*(2*
a^5*b - 4*a^4*b^2 + a^3*b^3 + a^2*b^4)*c)*e*tan(e*x + d)^2 - (a^5*b^2 - 2*a^4*b^3 + a^3*b^4 - 4*a^4*c^3 - (8*a
^5 - 8*a^4*b - a^3*b^2)*c^2 - 2*(2*a^6 - 4*a^5*b + a^4*b^2 + a^3*b^3)*c)*e)]

________________________________________________________________________________________

giac [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: TypeError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(e*x+d)/(a+b*tan(e*x+d)^2+c*tan(e*x+d)^4)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError >> An error occurred running a Giac command:INPUT:sage2:=int(sage0,x):;OUTPUT:Warn
ing, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was
done assuming [a,b,c]=[-10,75,-30]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameter
s. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,c]=[37,21,-92]Warning, need to choose a branch for th
e root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,c]=[-81,-53,-45]
Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice
was done assuming [a,b,c]=[71,35,44]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with paramet
ers. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,c]=[55,80,28]Warning, need to choose a branch for t
he root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,c]=[27,83,-2]Wa
rning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice wa
s done assuming [a,b,c]=[-23,17,-43]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with paramet
ers. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,c]=[2,-2,5]Warning, need to choose a branch for the
root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice was done assuming [a,b,c]=[-20,-31,68]Wa
rning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.The choice wa
s done assuming [a,b,c]=[-57,81,-94]Warning, integration of abs or sign assumes constant sign by intervals (co
rrect if the argument is real):Check [abs(t_nostep-1)]Evaluation time: 60.22index.cc index_m operator + Error:
Bad Argument Value

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 1.55, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {\cot \left (e x +d \right )}{\left (a +b \left (\tan ^{2}\left (e x +d \right )\right )+c \left (\tan ^{4}\left (e x +d \right )\right )\right )^{\frac {3}{2}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cot(e*x+d)/(a+b*tan(e*x+d)^2+c*tan(e*x+d)^4)^(3/2),x)

[Out]

int(cot(e*x+d)/(a+b*tan(e*x+d)^2+c*tan(e*x+d)^4)^(3/2),x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: RuntimeError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(e*x+d)/(a+b*tan(e*x+d)^2+c*tan(e*x+d)^4)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: RuntimeError >> ECL says: THROW: The catch RAT-ERR is undefined.

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.00 \[ \int \frac {\mathrm {cot}\left (d+e\,x\right )}{{\left (c\,{\mathrm {tan}\left (d+e\,x\right )}^4+b\,{\mathrm {tan}\left (d+e\,x\right )}^2+a\right )}^{3/2}} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cot(d + e*x)/(a + b*tan(d + e*x)^2 + c*tan(d + e*x)^4)^(3/2),x)

[Out]

int(cot(d + e*x)/(a + b*tan(d + e*x)^2 + c*tan(d + e*x)^4)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {\cot {\left (d + e x \right )}}{\left (a + b \tan ^{2}{\left (d + e x \right )} + c \tan ^{4}{\left (d + e x \right )}\right )^{\frac {3}{2}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(e*x+d)/(a+b*tan(e*x+d)**2+c*tan(e*x+d)**4)**(3/2),x)

[Out]

Integral(cot(d + e*x)/(a + b*tan(d + e*x)**2 + c*tan(d + e*x)**4)**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________